Figuras amorfas

Las figuras amorfas "son aquellas figuras que no tiene forma”. Es una curva o una figura de muchos lados distintos. Su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la  parte de adentro de una figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.

Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente:

SUMA DE REIMANN.

En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Reimann. La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

FUNCIÓN  PRIMITIVA:

La primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c. Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, anti derivada, etc. Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].

Esto puede ser representado como,

FUNCIÓN IMPROPIA.

El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integración es infinito, ya sea de la forma (a,∞), (−∞, b) o bien (−∞,∞), pero la función esta acotada. Para cada uno de los casos indicados se define Z ∞ a f(x) dx = l´ım B→∞ Z B a f(x) dx, Z b −∞ f(x) dx = l´ım A→−∞ Z b A f(x) dx, Z ∞ −∞ f(x) dx = l´ım A→−∞ B→∞ Z B A f(x) dx, 1 y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades son análogas a las correspondientes en las integrales propias (solo consideraremos el caso del intervalo (a,∞) pues el segundo caso se puede reducir al primero con el cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinación de los dos anteriores al descomponer la integral en dos sumados).